آشنايي با پي

فرض ميكنيم سابقه پيدايش كلمه پي را كاملاً ميدانيد و از زمان ورودش به عرصه رياضي اطلاع  كامل داريد. لذا از تكرار آن ميگذريم. در مورد پي دو سؤال متفاوت مطرح است:

 1) عدد پي چقدر است؟

2) پي چيست؟

پاسخ سؤال اول را حفظ كردهايم. 3.14159…   ، اين عدد از كجا آمده و چرا با عدد سه شروع شده است چيزي نميدانيم؛ فقط حفظ كردهايم، پي 3.14 است.

پاسخ سؤال دوم قدري فنيتر است و احتياج بيشتري به اطلاعات مقدماتي دارد. تعريف راديان : راديان قسمتي از طول قوس محيط دايره است كه اندازه آن برابر با شعاع دايره ميباشد. روشنتر آنكه راديان برابر با شعاع است. با توجه به تعريف راديان آيا ميتوانيم بگوييم، شعاع دايره قسمتي از محيط دايره است كه بصورت پارهخط درآمده است؟ آيا از نتيجه بدست آمدة منطقي اخير ميتوانيم نتيجه بگيريم كه، خط منحني به خط مستقيم تبديل ميشود؟ گفته ارشميدس را در اين مورد بخاطر آوريد. آري خط منحني به خط مستقيم و يا خط مستقيم به خط منحني تبديل ميشود و اين موضوع امري بديهي است و استدلال نميخواهد.

•  دايرهاي به مركز O و شعاع واحد رسم ميكنيم و آن را با قطر به دو نيمدايره تقسيم مينماييم. هر قوس را پي مينامند، زيرا ميگويند: .

• 

خارج از دايره رسم شده، دو پارهخط مساوي جدا از هم ميكشيم. ميگوييم طول هريك از اين دو پارهخط، نقطهبهنقطه با طول هريك از دو قوس برابر است، زيرا خط منحني و خط مستقيم هردو از مقوله طول هستند.

•  با دو پارهخط مساوي زاويه 60 درجه ميسازيم. سپس با اضافه كردن پارهخط سومي زاويه 60 درجه را به مثلث متساويالاضلاع تبديل ميكنيم. هركدام از ضلع اين مثلث برابر با قوس نيمدايره ترسيمي است. لذا با قاطعيت ميگوييم: محيط هر مثلث متساويالاضلاع يك و نيم برابر پيرامون دايرهاي است. اين موضوع چون بديهي است ميتواند اصلي محسوب گردد.

ژنتيك رياضي

تعريف: پي حاصل كسر متعارفي، طول محيط دايره به طول قطر دايره است:

يا

نصف پيرامون دايره در مثلث متساويالاضلاع بصورت خط راست درآمده، لذا مشخص و معلوم است. به جستجوي پارهخطي برابر با شعاع دايره در مثلث متساويالاضلاع ميپردازيم. يكي از سه عمودمنصف مثلث متساويالاضلاع را رسم ميكنيم تا دو مثلث قائمالزاويه بدست آيد. در هريك از اين دو مثلث قائمالزاويه وتر دوبرابر ضلع مقابل به زاويه 30 درجه است.

نيمساز زاويه قائمه يكي از دو مثلث قائمالزاويه را رسم مينمائيم تا وتر را قطع كند. نيمساز زاويه قائمه را به دو زاويه چهل و پنج درجه تقسيم ميكند. از محل قطع نيمساز با وتر به ضلع مقابل به زاويه 60 درجه – ضلع بزرگ زاويه قائمه – عمود ميكنيم تا مثلث قائمالزاويه متساوي الساقيني در مثلث قائمالزاويه محاط گردد. مثلث قائمالزاويه متساويالساقين بدست آمده بر مثلث قائمالزاويه متساويالساقين ايجاد شوند در ربع دايره، كاملاً قابل انطباق است.

طول وتر مثلث قائمالزاويه يكي از اضلاع مثلث متساويالاضلاع است كه آن را بعنوان
پي پذيرفتهايم، آن را برحسب يك ضلع زاويه قائمه مثلث قائمالزاويه متساويالساقين كه برابر با واحد فرض شده است محاسبه ميكنيم. طول وتر برحسب ضلع در نظر گرفته شده، عدد 3.15 47 00 538 را بدست ميدهد.

اثبات فيزيكي و تجربي: قطر و دور دايرهاي را بهدقت اندازه بگيريد بهسهولت عدد بالا بدست ميآيد.

نظريه ارشميدس را محقق سازيم

ارشميدس ثابت كرد: هر دايره همارز است با مثلث قائمالزاويهاي كه يك ضلع مجاور به زاويه قائمه آن برابر شعاع دايره، و ضلع بزرگتر مجاور به زاويه قائمه برابر محيط باز شده دايره باشد. اين مطلب موضوعي بديهي است، متأسفانه ارشميدس نتوانست آن را از قوه به فعل درآورد. آ نچه از اين نظريه برداشت ميشود اين است كه محيط دايره بايد بصورت خط مستقيم درآيد تا محاسبه عدد پي ممكن شود. بدينمنظور ،

•  دايرهاي به مركز O و شعاع واحد رسم ميكنيم.

•  قطر AL را ميكشيم.

•  مماس AE را قدري از سهبرابر قطر بيشتر رسم مينماييم.

•  روي مماس LE پارهخط LC را سهبرابر شعاع – يك و نيم برابر – جدا ميكنيم.

•  به مركز C و شعاع واحد قوس 180 درجه ميكشيم.

•  از نقطه A در نقطه D به قوس نيمصفحه مماس رسم نموده، امتداد ميدهيم تا در نقطه I مماس LE را ببرد. طول پارهخط LI برابر محيط دايره رسم شده ميباشد.

اثبات و محاسبه: براي محاسبه عدد پي، پارهخط AC و شعاع DC را رسم مينمائيم تا سه مثلث قائمالزاويه CLA   ، ADC   ، و IDC بوجود آيد. سرانجام محاسبات نسبت LI به قطر AL را به مقدار 3.15 47 00 538   نشان خواهد داد. به تربيع دايره با رقم بدست آمده توجه كنيد. دقت محاسبه حيرتانگيز است: .

www.trisectionofangles.com All rights reserved  

E-mail : info@trisectionofangles.com