تثليث زاويه ° 6 درجه يا  بوسيله ستّاره
”خطكش غير
مدرج" و پرگار
روش علوم
ابطال
و رد نظرات و دلايل غيرممكن بودن تثليث زاويه خصوصاً شصت درجه.
مقدمه: سابقه محدوديت ابزار ساختمانهاي هندسي خطكش و
پرگار، به زمان عهد عتيق برميگردد و هندسه معروف اقليدس بر پايه امكان ترسيم
اشكال هندسي بوسيله پرگار و ستّاره پايهگذاري شده است. نبايد فراموش كرد كه از
آن زمان تا كنون قويترين برهان در همه زمينههاي
هندسي مفهوم متعارف انطباق و يا رويهمگذاري اشكال بوده و هست. از اين روش برهان
در اثبات تساوي دو پارهخط. دو زاويه، دو مثلث، دو دايره، دو قوس از دايره و
غيرو استفاده شده و تقريباً كليه قضايا بر مبناي آن
اثبات شده است و در طول تاريخ نتوانستهايم تغييراتي ولو جزئي درآن ايجاد
نمائيم. در زمانهاي قديم ستّاره و پرگار بعنوان ابزارهاي مورد قبول و پذيرفته
شده بكار ميرفتند.
نخستين معلمان رياضي يونانيهاي
باستان مصريها بودند. در سدة هفتم قبل از ميلاد راه ورود آزاد به مصر (سرزمين
پر از رمز و راز اهرام) براي مسافران خارجي باز شد. دانشمندان يوناني از اين
امكان به خوبي و با سفر به محل استقرار يكي از مرا
كز
عجايب هفتگانه عالم (هرم گيزا) استفاده
كردند.
يونانيها تقريباً از سدة چهارم قبل از ميلاد جستجوهاي مستقل خود را در رياضيات
آغاز كردند و در زمينه بخصوص هندسه كه از بخشهاي مهم
رياضيات است به موفقيتهاي بسيار زيادي دست يافتند. جنبه منطقي هندسه را آنچنان
در سطح بالايي قرار دارند كه تنها در سدههاي
نوزدهم و بيستم در كارهاي هيلبرت و مكتب او تلاشي براي بهتر كردن آنها انجام
گرفت و هندسه اقليدسي بوجود آمد. هرچند تغييراتي در نحوه بيان برهان تساوي دو
پارهخط، دو زاويه، دو مثلث، و غيرو بعمل نيامد.
رياضيدانان يونان
باستان بدون هيچ اشكال ميتوانستند بهكمك همين وسايل خاص يعني خطكش و پرگار هر
زاويه دلخواهي را از طريق تقسيم قوس نيمصفحه يا 180 درجه به دو قسمت مساوي تقسيم
كنند. رسم فعلي معمول نيمساز و عمودمنصف پارهخط مبيّن اين امر است. ضمناً آنان
دريافته بودند كه بطور بسيار ساده و سهل زواياي 360، 270، 180، 135، 90، 45 درجه
را بهكمك ستّاره و پرگار به سه قسمت مساوي ميتوان تقسيم نمود. لذا سعي در آن
كردند كه زاويه دلخواه و غيرمشخص را بهكمك اين وسايل تثليث (سه قسمت) نمايند.
در مقابل اين خواست مشكل رخ نمود. مسئله دستنيافتني و مقاوم در برابر كليه تلاشهاي
آنان ظاهر شد. بهيچوجه تن به حل نداد. همه را از دسترسي به خويش محروم و نا اميد ساخت. هر اندازه كه اين مسئله از خود استقامت در تسليمپذيري
بروز داد رياضيدانان را بيشتر شيفته و مشتاق خود ساخت و آنان را بطرف خويش جلب و
جذب نمود.
كوششها و تلاشها براي
حل آن در همه ادوار تاريخ عرصه زورآزمايي عمل و ابتكار گشت. از ارشميدس و پاپوس
گرفته تا دكارت، نيوتن، ابوريحان بيروني، ابوسعيد سجزي، شال، كلرو، بنوموسيٰ، صاغاني، ويت، گاؤس، غياثالدين جمشيد
كاشاني، ابوالجود، ابوسهل كوهي، بوزجاني، نسوي، گالوا، همه
و همه به اين مشكل كه بصورت غول قرون و اعصار مبدل گشته بود
حملهور شده خود را آزمايش كردند.
البته تلاشها بيبهره
نبودهاند. در ساخت وسايل نتايجي بس درخشان در پي داشته است. مقاطع مخروطي،
مارپيچ ارشميدس، كنگئيد، كوادراتيس، مربعساز بخشان، دوايرگردان مماس خارج و
غيرو، و از نظر رياضي محض شناخت راه حل معادلات درجه سوم و چهارم و تنظيم خطوط
مثلثاتي نهچندان دقيق ماحصل فعاليتها و خلاقيتها بوده، حتي هندسه پرگاري
فرزند آن وسايل است. اما عدم دسترسي به حل واقعي مسئله بوسيله ستّاره و پرگار
كار را دشوار كرده است. زيرا صبر و طاقت و درنتيجه منطق را از كف مراكز معتبر
علمي جهان ربوده آنها را وادار كرده از راه لجاج و
عناد مسئله را لاينحل ابدي دانسته از حل و بحث درباره آن بطور كلي فرار نمايند.
درواقع، در مقابل حل اين مسئله تسليم محض شدند، در حالي كه با كمي واقعبيني و
قضاوت عادلانه و با تمسك به اين مطلب كه حقيقت در مركز ديد بيننده متفكر است
اذعان خواهند نمود. همانگونه كه در مورد بعضي زوايا عمل بهراحتي و سهولت انجام
شده است در مورد بقيه زوايا نيز كار بهراحتي انجام خواهد شد. بنا بر حكم قطعي،
هر عملي كه يكبار اتفاق بيفتد n بار اتفاق خواهد افتاد.
پارهاي از رياضيدانان
در فكر توجيه ناتواني خويش در حل مسئله برآمدند. كار را بدتر از بد كردند؛ نظرياتي را ارائه دادند. فيالمثل، براي آنكه به
غيرممكن بودن عمل تثليث زاويه
( trisection of angle ) با ستّاره و پرگار حكم
كنند. طبق نظر كارل فردريك گاؤس سلطان رياضيدانان جهان، فرانسوا ويت، اوراريست
گالوا، و… به زاويه بخصوص شصت درجه يا
 متوسل شدند. موضوع مسئله هندسي را به مسئله جبري تحويل
نمودند و آن را به معادلات درجه سوم مربوط كردند. براي آشنايي، حل معادله درجه
سوم پيشنهادي اين زاوية بخصوص را مرور ميكنيم. زاويه
 را با  نشان ميدهيم و  را بررسي ميكنيم:
هيچكدام از اين دو ريشه  و  در معادله صدق نميكند.
بنابراين، حكم غيرقابل حل
بودن
زيبنده اين زاويه خاص 60 درجه بوسيله ستّاره و پرگار است. از جزء به كل رسيدند و
حكم
را كلي كردند و در همه زوايا بسط دادند؛ تثليث زاويه بوسيله خطكش
و پرگار بطور كلي غير ممكن است.
از آنجا كه مشيّت
خداوندي بر آن رفته كه حل اين مسئله بسيار سهل و ساده پس از گذشت بيش از 2200
سال بدست اينجانب عملي شود. توفيق دست داد چندين روش متفاوت براي حل كلي و چندين
روش متنوع متجاوز از سي روش براي زاويه خاص 60 درجه مورد استناد بوجود آيد كه
يكي از آن روش 60 درجه يا  را از نظر دوستداران كشف حقيقت بگذرانم. براي آنكه
روشها مشخص باشد آنها را نامگذاري كردهام. اين روش بنام علوم موسوم است
كه
اينك به شرح قدم به قدم ترسيم و اثبات هندسي آن ميپردازم.
پيشآ گهي:
(الف)
1. دايرهاي دلخواه رسم ميكنيم.
شش بار شعاع را در پيرامون آن بوسيله پرگار به حركت درميآوريم. بدينوسيله شش
علامت روي پيرامون دايره بدست ميآيد. يك در ميان نقاط تحصيل شده را به مركز وصل
مينماييم. زاويه 360 درجه تثليث ميگردد.
2. دو نقطه متقارن نسبت به
مركز دايره ترسيمي را بهم وصل مينماييم. دايره نصف ميشود. روي هر نصفه قوس
دايره دو علامت باقي مانده است. آنها را به مركز وصل ميكنيم. زاويه 180 درجه
تثليث شده است.
3. قطر ديگري را بر قطر
قبلي عمود ميكنيم. چهار زاويه قائمه بدست ميآيد. سه زاويه قائمه را در نظر ميگيريم.
زاويه 270 درجه تثليث گرديده است.
4. پس از رسم قطر دوم و
علامتهاي موجود اوليه روي پيرامون دايره به وضوح ملاحضه ميشود كه هريك از چهار
زاويه قائمه تثليث شده است.
5 . دو نيمساز زواياي مجاور
90 درجه را رسم ميكنيم. چهار زاويه 45 درجه ايجاد ميشود. به راحتي سه زاويه
مجاور هم را كه مجموعاً 135 درجه ميشود تثليث شده
مييابيم. چنانچه دقت كنيم زواياي 45 درجه خود نيز تثليث شدهاند.
)ب) زاويه 135 درجه تثليث شده را در
نظر ميگيريم. وتر زاويه اصلي و اوتار سه قوس تثليث شده را رسم مينمائيم.
ذوزنقه متساويالضلعيني كه قاعده فوقاني آن با يكي از دو ساقش برابر است در
مقابل ديدگان ما است.
)ج) از نقاط محل تثليث (نقاط عدل
) كه نسبت به نيمساز زاويه
كاملاً متقارن هستند به محل قطع ثلثساز (خطوط
عادل ) و وتر اصلي زاويه وصل مينمايي.
لوزي زيبايي كه مرس (قطر) كوچكتر آن رسم شده است قابل رؤيت ميباشد. ضمناً نصف
لوزي تحصيل شده ثلث متساوي الساقين است كه قاعده آن جزئي از شعاع دايره ميباشد.
براي درك بهتر به شكل توجيهي مراجعه فرماييد.
روش كار : موادي كه در اين روش بكار رفته فقط و فقط ستّاره (خطكش
غيرمدرج) و پرگار، كاغذ معمولي بدون خط؛ ساده و عادي از هرگونه نشان و علامتي،
همراه با مداد مشكي ميباشد.
روش، هندسي و زاوية
انتخابي، 60 درجه  در نظر گرفته شده است.
مرحله اول ترسيم:
• دايره به مركز O و شعاع دلخواه r را با پرگار رسم ميكنيم.
• قطر RH آن را با ستّاره ميكشيم. از نقطه O عبور ميكند.
• نقطه R روي پيرامون دايره را مركز قرار داده با پرگار به شعاع RH (دو برابر شعاع اوليه r
) قوس
نيمدايره ميزنيم.
• بعد نقطه H سر ديگر قطر ROH را مركز قرار ميدهيم،
با پرگار به شعاع RH (دو برابر شعاع اوليه r ) قوس نيمدايره ديگري رسم ميكنيم تا قوس قبلي را در نقاط P و Q ببرد.
• نقاط P و Q را بوسيله ستّاره بهم وصل ميكنيم.
پارهخط PQ از مركز O گذشته، دو قوس 180 درجه RH را كه پيرامون دايره ميباشند در نقاط A و N نصف ميكند. اين پارهخط
عمودمنصف قطر RH در نقطه
O بر آن عمود ميگردد.
پارهخط PQ مكان هندسي و محور تقارن است. پارهخط AN قطر ديگر دايره و عمود بر قطر RH در نقطه O ميباشد. طريقه نصف كردن خط است. قوس و عمودمنصف كشيدن دايره در نقاط R ، A ، H ، N به چهار قسمت مساوي
هركدام 90 درجه قسمت شده است (مطابق شكل).
مرحله دوم ترسيم:
• از نقاط R و H دو سر قطر به P روي عمودمنصف با ستّاره
وصل ميكنيم. مثلث متساويالاضلاع RPH با اضلاع بطول r 2 بدست ميآيد. هر زاويه آن 60 درجه يا
 ميباشد. دو ضلع مساوي RP و HP پيرامون دايره را در
نقاط G و S ميبرند. سه قوس مساوي SH ، GS ، RG هركدام
برابر با 60 درجه بدست ميآيد. قوس GS  در نقطه A تنصيف شده است (مطابق شكل ) .
• قوس GA را در نقطه C نصف ميكنيم.
• وتر SH را در نقطه V نصف مينماييم.
• نقاط V و C را بهم وصل نموده ادامه ميدهيم تا
در نقطه T ضلع PR را ببرد.
• دو نقطه T و S را بهم وصل ميكنيم. قوس GS در نقطه D بريده ميشود. نقطه عدل
D روي قوس GA محل تثليث زاويه GOS يا  است.
مرحله
سوم اثبات هندسي:
• دو شعاع مساوي و برابر GO و OS را رسم ميكنيم. زاويه
مركزي GOS شصت درجه يا
 بدست ميآيد.
• وتر GD را رسم مينماييم.
• وتر GS را ميكشيم. در نقطه E بر شعاع OA عمود ميگردد.
• نقطه G را مركز قرار ميدهيم به شعاع GD دايره رسم ميكنيم. اين
دايره وتر GS را در نقطه M و پيرامون دايره به
مركز O را در نقطه F ميبرد. دو قوس FG و GD با يكديگر مساويند.
• از نقطه F به نقطه M با ستّاره وصل كرده ادامه ميدهيم.
پيرامون دايره به مركز O را در نقطه I ميبرد. نقطه M روي دو وتر و يك قوس
قرار دارد.
• اوتار GI ، IS ، DI ، FG را رسم مينماييم.
• از نقطه D به نقطه M با ستّاره وصل ميكنيم. وتر GI را در نقطه K ميبرد.
• دو شعاع مساوي و برابر FO و IO را رسم مينماييم.
مثلث DGM متساويالساقين است، چون دو ساق GD و GM آن شعاعهاي دايره به
مركز
G ميباشند
(قابل توجه جناب آقاي دكتر منيري رياضيدان و استاد دانشگاه). مثلث FGM
نيز
متساويالساقين است، زيرا دو ساق FG و GM آن شعاعهاي دايره به
مركز G ميباشند (جناب آقاي دكتر ه . م. شفيعيها رياضيدان و استاد دانشگاه با سي سال تجربه
تدريس، اين مطلب برايشان سؤال برانگيز بوده است). پس دو زاويه GFM و GMF باهم مساويند. مقدار
زاويه GFM كه منطبق به زاويه محاطي GFI
ميباشد
نصف مجموع دو قوس GD و DI
است.
مقدار زاويه GMF كه رأس آن درون دايره است نصف
مجموع دو قوس FG و IS ميباشد. مجموع قوس GD و DI با مجموع قوس FG و IS باهم مساويند. چون دو
قوس FG و GD را كه مساويند از دو
مجموع مساوي كم كنيم، باقيمانده كه دو قوس DI و IS ميباشند باهم مساوي ميشوند.
مثلث DGM متساويالساقين و GK نيمساز آن است. چون دو
ساق GD و GM شعاع دايره ميباشند و
قوس DI و قوس IS باهم مساويند. پس GK عمودمنصف DM قاعده آن مثلث ميباشد
و در نقطه K بر DM عمود است. مثلث DIM نيز متساويالساقين و IK عمودمنصف آن است (طبق
قضيه).
دو مثلث متساويالساقين DGM و IOS و دو مثلث متساويالساقين DIM و FOG
باهم
متشابهاند، زيرا زاويه رأس آنها باهم برابر است. دو مثلث متساويالساقين FOG و IOS همنهشتاند، زيرا نسبت
قاعده FG و IS آندو با قاعده DM مشترك در دو مثلث متساوي الساقين مقداري ثابت است. دو قوس FG و IS مساويند. بنابراين چهار
قوس IS ،
DI ، GD ، FG باهم مساوي و برابر ميباشند. نتيجة كلي
، آنكه نقطه
عدل D محل تثليث زاويه GOS ، 60 درجه يا  ميباشد “مطابق شكل”.
استدلال تحليلي: در ترسيم، از صدر به ذيل رسيديم. در اثبات، از ذيل
به صدر ميرويم. در مثلث PTS ميتوان نوشت:
دو نقطه R و V را بهم وصل ميكنيم. در مثلث RVH ميتوان نوشت:
در مثلث TRV دو زاويه و ضلع بين معلوم است. ميتوان نوشت:
در مثلث PTV ميتوان نوشت:
در مثلث TSV ميتوان نوشت:
نتيجة كليتر از كلي: مسئله لاينحل دستنيافتني قرون و اعصار؛ يعني تثليث
زاويه  با همه استدلالهاي
بظاهر محكم و استوار (در باطن بيرمق و آبكي) بسادگي بوسيلة ستّاره و پرگار حل
شد. تثليث زاويه  لرزه بر اركان و
استدلالهاي رياضيدانان بنام خبابان كارل قردريك
گاؤس،
فرانسوا ويت، اواريست گالوا جوان مغلوب در دوئل و… انداخته است. اين روش تثليث
زاويه  اثبات ميكند كه تبديل
موضوع هندسي به جبري و ايجاد معادله درجه سوم كار صوابي بنظر نميرسد. توجيه و
بهانهاي فني براي كتمان ناتواني است. تثليث زاويه
 بوسيله ستّاره و پرگار ارتباط جواب حل معادله درجه
سوم را كه  و
 درآمده است و در معادله صدق نميكند با موضوع تثليث
باطل ميداند.
عمل تثليث مدعي است كه
ا گر ربط حل معادله درجه سوم و تثليث
درست بود بايد جواب دقيق بدست ميداد و مدلل ميكرد كه تثليث زاويه بوسيله
ستّاره و پرگار شدني و كار محالي نيست. فعلاً موضوع مهم و اساسي كه بروز كرده تناقضي
است كه در اثبات و استدلال رياضي بدست آمده است. كليه علوم استدلال و اثباتهاي
خود را به زبان و در قالب رياضي بيان ميكنند تا خدشه در آن راه نيابد. ا كنون با عمل تثليث زاويه
 بوسيله ستّاره و پرگار اين خدشه به رياضي وارد شده
است.
ا
كنون
بر صاحبنظران و محققين محترم عملي آزاد انديش است كه علت تناقض را دريابند. صرح
را از ناصرح جدا كنند. در مقابل تناقض بوجود آمده خود را به كوري و كري زدن، بهانه
تراشيدن، فحاشي كردن، كار شايسته و عاقلانهاي نيست. سكوت امروز سرانجام فردا
شكسته خواهد شد. اين حركت در طول تاريخ اتفاق افتاده و تكرار شده و شواهد متعددي
را عرضه داشته است.
چنانچه مقامات علمي
آزادانديش بيغرض اصالت اين روش تثليث، علوم ، را بررسي و سپس صحت آن را تأييد
فرمايند كاربردي از آن ارائه خواهم كرد كه عمل ايجاد تناقض در رياضي و ابطال
نظرات اشخاصي چون گاؤس، ويت، گالواي مغلوب در مقابل آن حقير نمايد. اميدوارم
صاحبنظران، اساتيد، محققان محترم در هر كجا كه هستند از هرگونه راهنمايي نسبت به
اينجانب دريغ نفرمايند. قبلاً از مساعي و الطاف آنان سپاسگزاري مينمايم.
|
